Главная  Носители тока 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 [ 68 ] 69 70 71 72 73 74

значая u=(TIZ)-ti, имеем для достаточно большого Т:

г .г/2 оо

Следовательно,

(и) du.

-со -00

что и доказывает (П.9).

Обратимся теперь к (П. 10). Снова проводя усреднение по под-ансамблю, получим

г< к

Т== f--.fF(/-f,)F(/-,). (ПЛ2)

О (=1 /=1

Имеется К интегралов, для которых i=/ Каждый из них дает т

ynt-h)- (П.13)

б

Существует К{К-I) интегралов, для которых гф}. Каждый из них дает

\Fit~-t,)Fit-t,). (П. 14)

О о

Так как средние по подаисамблю ие зависят от времени, положим в (П.13) и (П.14) /=Г/2. Полагая и=(Г/2)-и а=( 2)-О, имеем

7-/2 7-/2 тп

1 = -f- f ( > + -f ( ) ] (

-00 -оо

(П. 15)

(У) =

jf (к) йа



так что

(П. 16)

Усредним теперь по всем значениям К, чтобы получить дисперсию var Y:

var Y

р (и) du

-оо оо

= Х F{u)du-- F{u)

(П. 17)

Так как последний член стремится к нулю при Т->-оо, то (П.Ю), таким образом, доказано.

Докажем теперь теорему Парсеваля, которая утверждает, что если ф(/) есть преобразование Фурье от F(i), то

\V{f)\df= \Ft)di.

-00 -оо

Согласно определению

ФШ= F(t)exp{-2ift)dt,

а обратное преобразование есть оо

F{t) = J**(f)exp(-2 jf01rff-

Используя (П.19) и (П.19а), находим: оо со оо

{Ф(ПФ*Ш^= \rif)df jF(0exp(-2 j/0rf< =

-00 -оо -00

оо со со

= Jf (О dt ф* (f) ехр (-:2 j ft) df = Jf it) dt.

(П.18)

(П.19)

(П.19а)

Это доказывает теорему Парсеваля.

Докажем в заключение теорему Карсона, которая утверждает, что если ipCf) есть преобразование Фурье функции F{u), а Y(t) задано соотношением (П.8), то

5р(/)-2\.ф(/) I .

(П.20)



где

ФШ= Jf (K)exp(-27rjfK)rfM. (П.21)

Из (П. 18) со1;ласпо теореме Парсевалл имеем \

-со -оо

ПодСтаЁляя это Выражение в соотношение, Вытекающее йз тёореМь! Кемпбелла, получаем согласно (2.19)

00 оо

var у = X jl (П I rff = 4- jSy if) df. (П.22)

Это представляет искомый результат, если, например, справедливо (П.20). Для доказательства (11.20) пропустим флуктуации через фильтр с частотной характеристикой коэффициента передачи g{f). Обозначим выходной сигнал фильтра символом Z. Тогда по аналогии с (П.22)

00 00

varZ = X \4f)\-\g(f)\df=~ Sy{f).\g{fWdf. (П.23)

-00 -оо

Так как это должно быть справедливо для произвольного фильтра, единственная возможность состоит в том, чтобы

что доказывает (П.20).

В. Теорема о дисперсии [Уравнение (2.42а)]

Так как

причем N и а, флуктуируют, усредним п биачале по подаисамблю элементов, которые имеют одну и ly же величину N, а затем усредним по всем N. Таким образом, если обозначить символом ~s среднее по подаисамблю, то й- = Л/о; отсюда

n=ll=m. (П 4)

Кроме того,

г=1 /=1




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 [ 68 ] 69 70 71 72 73 74