выравнены и 2) свет местного .гетеродина и входной свет должны падать на одну и ту же площадь фотодетектора, в противном случае получаются либо потери сигнала (если входной свет падает на большую площадь детектора, чем свет местного гетеродина), либо добавляется дополнительный щум (если свет местного гетеродина падает на большую площадь, чем входной свет).

ПРИЛОЛ<ЕНИЯ П.1. ФЛУКТУАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ

А. Теорема Винера-Хинчина и связанная с ней теорема

Проведем доказательство уравнения (2.17). Коэффициент Фурье а„ флуктуирующей величины X (t) был определен как

Г

й„ = 4 ] Р (- j О dt, (П. 1)

О

Где (Оп = 2гог/Г^ а Т - длительный временной интервал. Спектральная плотность была определена как

S (n = lim2ro aV (П.2)

Доказательство теоремы Винера - Хинчина состоит в следующем:

г г

2 С С г-

2а„а* = уг\ \ X (и) X (а) ехр [- j (о„ (и - а)] dudv = о о

Т Т-и

-fTdu J X {u)X(u+s) ехр (j (o s) ds, (П.З)

о -к

что получается путем подстановки s - v - и в качестве новой переменной. Учтем теперь, что X(u)X(u-{-s) стремится к нулю при больших S. В таком случае можно определить интервал - M<sM, вне которого А' (и) X (и s) имеет пренебрежимо малую величину. Лалее выбираем Т^Л1. Сравнивая (П.З) с интегралом

г м

2 Г f

JT du \Х (и) X (U + S) ехр (j(o s)rfs, (П.За)

О ~м

Рис. n.I. Иллюстрация примерной эквивалентности интеграла в последней части уравнения Ш.З) и интеграла из уравнения (П.3а).

можно видеть (рис. П.1), что эти два иите1рала описшвают площади фигур, отличаюпдахся только двумя треугольниками с основанием М, площадь которых пренебрежимо мала по сравнению со всем интегралом. Поэтому

2 а„а\= f rfK (и) X{u + s) е.хр (j <o s) ds О -м

= XlyX (Kj-f s) ехр (j <o s) ds =

0 -co

= -r- (и) X(u + s) exp (j s) rfs, (П.4)

так как подынтегральное выражение X(u)X{u-{-s) пренебрежимо мало при s>Af и не зависит от и. Подстановка (П.4) в (П.2)дает

5,(0 = Ит2Га а\-

Г-*сх>

= 2 (Г (к)А' (и-f S) ехр (j <o s) ds, (П.5)

что и доказывает теорему Винера - Хинчина (2.17).

Аналогичным образом доказывается (2.38). Из (2.37) имеем:

А' (t) dt или 2А':; =

А' (к) А (а) dudv. (П.6)

О о

Это соответствует (П.З) при (Ои=0 и Т=х. Поэтому точно так же, как из (П.З) вытекает (П.5), так и (П.6) приводит к

5 (0) = Нт 2t Х1 = 2 \х (и) Xiu + s) ds, (П. 7)

что и доказывает (2.38).

Б. Теоремы Кемпбелла, Парсеваля и Карсона'

в этом разделе мы собираемся доказать теорему Карсона, но для того чтобы сделать это, докажем сначала теорему Кемпбелла и теорему Парсеваля. Теорема Кемпбелла формулируется следующим образом:

Пусть элементарное событие, происходящее в момент t=ti, вызывает отклик F{t-t,) в некоторой системе, которая может быть электрической цепью, пластинкой полупроводника и тому подобное, так что результирующий отклик Y{i) является суммой большого числа независимых откликов F(t-Л), возникающих случайно со средней частотой Я. Иначе говоря,

I(0 = Sf e-i) при 0<<<7-. (П.8)

Теорема Кемпбелла утверждает, что для достаточно больших Т

У = А. \F(u)du, (П.9)

vary = Л [F{u)]du. (ПЛО)

Для доказательства трассмотрим вначале подансамбли, в которых на временном интервале Т происходит ровно К событий, и далее усредним по К. Для такого подансамбля

К

Y(i) = T,F{t-U). (П.8а)

Вероятность того, что некоторое определенное событие произойдет между ti и ti+dti, равна dti/T, так как события независимы и имеют место Б случайном порядке. Следовательно,

т т к к т

6 о (=1 1=1 о

где символ -s означает усреднение по подансамблю.

Но средние по подансамблю не зависят от времени. Поэтому, не сввершая ошибки, можно положить <=Т/2. В таком случае, обо-