Из определения спектральных плотностей

i>zz (I) - -bcDc i- -sc----

(2.28b)

Таким образом, Im[S3cy(jf)] в самом деле играет существенную роль.

Если мы проделаем ту же процедуру с п частично коррелированными шумовыми процессами, то получим спектральную матрицу из п строк и п столбцов:

\xx, xx x x

(2.29)

- л

где элементы, не лежащие на главной диагонали, являются комплексно-сопряженными, т. е.

(2.29а)

В. Теоремы о спектральнойплотности

Сначала сформулируем теорему КарсонаЧ Пусть стационарная случайная переменная Y{t) является суммой большого числа независимых событий Fi{t), происходящих в случайные моменты времени со средней частотой X, так что

Y{t)Y.F{t~U), (2.30)

где F{t-?г)=0 для tKU, и F{t-представляет событие, начавшееся в момент t=ti. Определяя преобразование Фурье tldf) функции F{u) формулой

f/(w)exp(-j .u)rfu,

(2.31)

получим спектральную плотность Sy(f) функции Y{t):

5 0/)=2,Xt(OP. (2.32)

Доказательство приведено в приложении 1.

Ср., например, [16].

Этот результат может быть распространен на случай, когда события не одинаковы. В этом случае ф(/) могут быть различными для различных элементарных событий, и уравнение (2.32) следует переписать в виде

5у(/) = 2Я|ф(/)% (2.32а)

где )ф (/) - среднее значение ф (/)-.

Рассмотрим частный случай, когда известно распределение постоянных времени т. Пусть git)dx - вероятность того, что событие характеризуется постоянной времени, заключенной между т и x+dx, и пусть g{x) нор-

мировано: jg(x)cfx=l. Тогда, если (/) является

значением ф(/) для события с постоянной времени х, то по определению среднего значения имеем

l<ifr=\M\gb)d. (2.33) о

следовательно,

Sy(f)=2l]\<Me{-)d. (2.34)

В качестве примера использования теоремы Карсона рассмотрим спонтанные флуктуации числа п электронов, эмиттируемых за одну секунду насыщенным термокатодом. Так как электроны покидают катод независимо друг от друга в случайные моменты времени, то п подчиняется распределению Пуассона. Поскольку F{t-ti) является дельта-функцией б(/-г). Для которой Ipif) \ = = 1, спектральная плотность случайной функции Лп = =п-п

5 (/)=2Я. (2.35)

Теперь мы должны учесть, что электроны несут заряд (-q), поэтому ток l{t)=qn. Среднее значение его равно, таким образом, I=qn, а спектральная плотность

Si if) =qSn if) =2q4=2ql. (2.36)

Этот результат является следствием теоремы Шоттки [17].

ина справедлива для люоого тока, состоящего из последовательности независимых случайных импульсов, каждый из которых несет заряд (-q). Следовательно, ее можно распространить не только на насыщенные (или с ограничением тока температурой катода) вакуумные диоды, но также и на диоды с р-п переходом или биполярные транзисторы, в которых носители пересекают потенциальные барьеры (см. п. Б § 6.1).

Вторая теорема, которая оказывается особенно ценной для источников белого шума и доказательство которой приведено в приложении 1, формулируется следующим образом [10]. Пусть Х()-стационарная случайная переменная, для которой Х=0, и пусть -ее среднее значение по времени за интервал t, т. е.

X.-l-X{t)dt. (2.37)

о

Тогда значение спектральной плотности X{t) на низких частотах 5зс(0) определяется выражением

540) = Ит2тХ , (2.38)

где среднее значение определяется по ансамблю одинаковых систем, подверженных различным флуктуациям.

В качестве примера рассмотрим последовательность случайных импульсов, происходящих со средней частотой п. Пусть число импульсов, появляющихся в течение некоторого единичного интервала времени, равно п, и пусть п имеет произвольную плотность вероятности с (т2=уагп. Тогда для N импульсов, появляющихся в течение определенного интервала времени t, имеем

W = 1пЛШ' - var N \ var п. (2.39)

Если положим, что AN = N - N, то ДЛ/. - ДЛ т; в соответствии с (2.37), так что

Nl=.-гrn. (2.39а)

Следовательно,

S{0)lш2zN=2varn. (2.40)

т->оэ