5 (f) являются соответствующими спектральными плотностями, а и коэффициентами Фурье, то = =..Я(/.).такчто ЛПШ)\- (2.20) Используя соотношение (2.19), получаем

y4f)=]sMg{!)fdl.. (2.21)

о

Если линейная система является усилителем, то значение Y{i) может быть измерено с помощью квадратичного детектора. Если усилитель узкополосный и настроен на частоту f, то по измеренной величине Y{t) можно почти сразу найти Sx{f). В самом деле, в этом случае Sx{f) Sxifo) во всей полосе пропускания усилителя, так что .

Y4tj = Sx (fo) I \g (ft df = (f,) gl В,фф, (2.22)

где go=g{fo)-коэффициент передачи усилителя на частоте настройки; Вдфф - эффективная (шумовая) полоса усилителя, определяемая соотношением

Ввфф -

(f)Mf. (2.22а)

Значения go и эффективной полосы Вэфф определяются при помощи генератора стандартных сигналов Следовательно, Sx(fo) можно вычислить сразу после того, как будет измерено Y(t) и определены go и Вэфф.

Б. Теорема Винера-Хинчина для многих переменных. Взаимные спектральные плотности

Если на отрезке времени О^Г имеются два частично коррелированных случайных процееса X{t) и Y{t), представленные рядами Фурье*)

X{t)= f й„ехр(р„0, У(0= Г fen ехр (КО. (2.23)

П--00 П=-00

*> Как и в п. А § 2.2. функции X{i) и Y{t) должны быть соответствующим образом скорректированы на концах отрезка.

где u) = 2itAi/r и'

а„= 2, {t) ехр (-jto. 0 dt.

о

т

6 = (у(0ехр(-р„0 (2.23а)

то можно определить спектральные Sxxif) и Syy{f) и взаимные спектральные SxyQ) и Syx{f) плотности с помощью соотношений

Sxif) = lira 2Т а^а\, Syy (f) = lim 2ГЬ\. (2.24)

Sxy (f) = lim 2Tanb\, Syx (f) = Ит;2Га\6 =S% (f).

Здесь снова знаком * отмечены комплексно-сопряженные величины. Из определений видно, что Sxx{f) и mif) являются вещественными, а Sxy{f), вообще говоря, комплексная функция.

По аналогии с теоремой Винера - Хинчина:

Sxxif)H2 Jx(OX( + s)exp(ju)s)ds, (2.25) Syy if) = 2 JY{f)Yit-s)exp{j.s)ds.

Sxy if) =-2 Tx(OF(f + s)exp(jtDs)ds. (2.25a)

Таким образом, шумовые процессы могут быть описаны матрицей

(SAf) S ,(f)y (2.26)

Syy{f)J

элементы которой, не лежащие на главной диагонали, комплексно сопряжены.

Часто физический смысл имеет только вещественная часть Sxyif). Например, X{t)+Y(t) имеет спектральную

плотность

Sxy. х^у if) = lim 2Т К + & ) (а\ + Ь\) =

Г->оо

= lim 2Га а* + lim 2Tbnb\ + Иш 2Та Ь\ +

Г-*оо Г->оо Г-х

+ Иш 2Га* & = if) + if) + 2Re [S.y (f)]. (2.27)

r-*oo

В качестве примера случая, когда физический смысл имеет мнимая часть Sxy(f), рассмотрим цепь, показанную на рис. 2.1. Здесь генератор шумового тока Y{t) включен параллельно емкости С, а шумовая э. д. с. X{t)

X(t)

-- Рис. 2.1. Цепь с частично корре-

лированными источниками шумо-вой э. д. с. X(t) и шумового 2(*) тока Y(t).

включена последовательно с ними. В этом случае спектральная плотность Szz(f) напряжения Z(t) на концах разомкнутой цепи зависит от мнимой части Sxy{f).

Доказательство проводится следующим образом. Пусть на отрезке*)

Х(0= S а ехр(КО (0= S &пехр(КО. (2.28)

Z(0= Ц с„ехр(КО.

Простым анализом цепи получим

с„==.а„ + 6 /КС. (2.28а)

Следовательно,

2сЛ = 2( -Ьт)(... ) =

= а^+-- у-. (2.286)

Как и в п. А § 2.2, функции X(>t), Y{t) и Z(t) должны быть соответствующим образом скорректированы на концах отрезка.