Последнее свойство можно доказать следующим образом:

X{t) X{ts)=X{u~s)X{и) = X(и) X(и - s) =

=X{t)X{t-s).

Конечный результат получается путем подстановки t + s = u и дальнейшей заменой переменной и на t. Все эти преобразования являются законными, потому что средние значения не зависят от и или t.

Если X (t) X(t-\-s) является дельта-функцией от s, т е. если X (t) X{t-\-s) - Ab (s), то шум называют белым. Обычно стараются представить флуктуационные явления при помощи источников белого шума.

Величина

с (S) = X (О X + s)IX (О (2.13)

называется нормированной автокорреляционной функцией; она не существует, когда X{t)X{t+s) является дельта-функцией от S. Нормировка здесь означает, что c(s) = = 1 для s = 0.

Для частично коррелированных значений X{t) \i Y{t), описывающих коррелированные случайные процессы, вводят взаимокорреляционные функции X{t)Y{t+s) и X{t+s)Y{t). Эти функции неодинаковы и не являются четными, однако, удовлетворяют соотношениям

Х(0 Y{t-\-s)=X{u~s)Y(u) = X{t~s) Y{t), (2.14)

X(f + s) Y {t) =X{u)Y (и - s) =X{f) Y{t-s). (2.14a)

В каждом случае на первом шаге производится замена f + s на м, а на втором шаге и заменяется на t. Это можно делать для стационарных случайных процессов.

В следующей главе мы увидим, что автокорреляционная функция и взаимокорреляционные функции играют важную роль при вычислении спектральных плотностей.

2.2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ТЕОРЕМЫ

А. Спектральный анализ. Теорема Винера-Хинчина

Пусть X{t) является стационарным случайным процессом. Разложим Х{1) в ряд Фурье иа интервале

X{t)= S anexp(jto 0. (2-15)

n=-оо

где cD = 2i:Ai/r, = 0, dzl, ±2,... и

т

а„ = -1- j X (О ехр (-j ю„0 dt. (2.15а)

о

Спектральная плотность Sx{,l) случайного процесса Х() определяется выражением

Sx(/)==lim2ra a* , (2.16)

где знаком * отмечена комплексно-сопряженная величина. В приложении 1 показано, что в соответствии с теоремой Винера - Хинчина [14, 15] Sif) может быть выражена через автокорреляционную функцию при помощи соотношений

Sx(/)=.2 IX (О X ( + S) ехр (jcDs) ds =

-00 , 00

= 4 J X (О X ( + s) COS mds. (2.17)

о

Следует заметить, что второе из соотношений (2.17) может быть получено из первого, если принять во внимание, что

ехр (jcDs) = cos (OS--j sin ojs.

*) Так как обычно Х(Т)фХ(Щ, то следует скорректировать Х(0) в конечных точках, полагая Х(0) =А:(7 ) =*/2 \ЩХ(Щ+Х{Т-к)\. Тогда ряд Фурье представляет X{t) даже на концах выбранного отрезка.

а такл<б, что X{t)X(t-\-s) и coscos являются четными функциями S, в то время как sihrcos - нечетная функция S. Обратное по отношению к (2.17) преобразование дает

X{t)X{t-\-s) = J (f) cosiosdf. (2.18)

Пусть автокорреляционная функция X{t)X{t-\-s)

имеет постоянную времени -с, т. е. X () X (--s) = О для Тогда при сох<1 функция exp(ju)s)=l для всех

значений s, д.яя которых X{t)X(t-\-s) отлична от нуля. Следовательно, низкочастотная величина 5(0) спектральной плотности Sx{t) имеет вид

5(0) =2 Х(0 X{t-\-s)ds. (2.17а)

Для частного случал (белого шума) Х()Х(--)=()-

Следовательно, поскольку J S (s) ds = 1,

5(0)=-2Л (2.176)

для любой реализации белого шума X{t).

Пользуясь обратным соотношением (2.18), можно по спектру восстановить автокорреляционную функцию.

При вычислениях обычно находят автокорреляционные функции, а затем определяют Sx{f) с помощью (2.17). В измерениях же сначала находят Sxif), а затем при помощи (2.18) рассчитывают автокорреляционную функцию.

Полагая в (2.18) s = 0, получаем

Xit)=jS,{f)df, (2.19)

т. е. средний квадрат можно определить простым интегрированием, если известна Sx{f).

Причину, по которой Sx{f) можно легко измерить, поясним следующим образом. Пусть стационарный случайный сигнал X(it) подается на вход произвольной линейной системы с передаточной функцией g{f) и пусть Y{t) -сигнал на выходе этой системы. Если Sxif) и