Главная  Носители тока 

1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74

Шумовой процесс, которын может быть описан равенством (2.7а), называется гауссовским. Практически все флуктуационные токи и напряжения-, возникающие в электрических приборах, имеют плотность вероятности этого вида Поэтому путем экспериментального определения плотности вероятности удается получить не так уж много информации. Ведь заранее предполагается, что эта плотность вероятности является нормальной.

Причина, по которой больщинство флуктуирующих величин подчиняется нормальному закону, заключается в том, что флуктуирующая величина является суммой большого числа независимых случайных переменных. В таком случае справедлива центральная предельная теорема:

Если X Хз, Х„--независимые случайные переменные, имеющие одинаковые плотности вероятности и, следовательно, равные средние значения Xi - iX и дис-

п

Персии varXj-=:varX, = , то сумма Y- Х{ являет-

ся асимптотически нормальной для большого п, со средним значением F = №, и дисперсией .

Средние значения, обсуждавшиеся до сих пор, называют средними по ансамблю, т. е. средними, определенными по очень большому числу одинаковых систем, подверженных различным флуктуациям. Если шумовой процесс стационарен, эти средние не зависят от времени.

В стационарных случайных процессах случайная переменная для одного элемента ансамбля может рассматриваться как функции X(t) времени t. Среднее значение (Х) функции g{X) переменной X(t) в этом случае может быть также определено предельным переходом

(X) = lim giX)dX. . (2.8)

Когда это среднее равно среднему по ансамблю, говорят. Что рассматриваемый случайный процесс является эргодическим. Шумовые процессы, которые будут здесь рассмотрены, практически все являются эргодическими.

. Исключение составляет взрывной шум (см. § 6,5 и [131]). Прим. ред.



в расчетах всегда используются средние по ансамблю, но в шумовых измерениях берутся средние по времени за достаточно длительный интервал, причем усреднение обычно выполняется самим измерительным прибором (квадратичным детектором с постоянной времени Т'). , .

Б. Плотности вероятности двух случайных переменных. Корреляция

Для двух непрерывных случайных переменных X и У вероятность того, что величина одной из них заключена между X и X+dX, а величина другой - между Y и Y+dY, есть

dP=fiX, Y)dXdY, (2.9)

по аналогии с уравнением (2.1) i>. Функция f(X, У) называется совместной плотностью вероятности переменных X и Y. Она удовлетворяет условию нормировки

f{X, Y)dXdY=\, (2.9а)

где интегрирование распространяется на все допустимые значения X и Y.

Средние значения определяются так же, как для одной переменной, т. е.

= j J XYf (X, У) dXdY, (2.10)

где интегрирование также проводится по всем допустимым значениям X и У.

Обычно j( = Y = 0; тогда наиболее важными средними значениями являются X У^ и ХУ. Если X и У являются дискретными случайными переменными, то операции интегрирования должны быть заменены операциями сум-мирования так же, как в случае одной переменной.

Если ХУ=0, то случайные переменные Х() и У() называют некоррелированными. Если же ХУО, то говорят, что случайные переменные коррелированы, и

cXy/ix (2.11)

Точнее было бы плотность вероятности в момент ti обозначать f(X, Y, ti). К счастью практически все интересующие нас здесь процессы стационарны, т. е. l(K,Y, ii+t)=f{X, Y, li)=}{X, Y) для всех значений i.



называется коэффициентом корреляции. Легко показать, что из очевидного неравенства {aX+bY)0 (для всех а и *) следует -lcl. Случай, когда с| = 1, называется случаем полной корреляции.

Если две случайные переменные X(t) и Y{t) частично коррелированы, т. е. если 1с1<1, то У можно разделить на часть аХ, которая полностью коррелирована с X, и часть Z, которая не коррелирована с X. Таким образом, можно записать

Y=aX+Z, (2-12)

где \X-Y = Z - 0 и XZ = 0. Если с есть коэффициент корреляции двух величин, то легко показать, что

.а^с(Щ \ 2 = Г{1~с^. (2.12а)

В. Автокорреляционная и взаимокорреляционная функции

в стационарных случайных процессах £очень важным является среднее значение X(f) X(-j-s). Оно называется автокорреляционной функцией и является мерой продолжительности влияния данного значения случайной переменной на последующие. Автокорреляционная функция имеет следующие интересные свойства:

1. X()X(-f-s) является или непрерывной, даже если Х() не непрерывна, или дельта-функцией от s.

2. X{t)X{t-\-s)=X{t) при s = 0, если только X (t) X{t-\-s) не является дельта-функцией от s, так как X()X(--s) непрерывна.

3. X(f)X(--s) -четная функция s, т. е.

X{t)X{t~s) = X(О Xit-\-s).

Автокорреляционная функция определяется через совместную плотность вероятности f(Xi, Х^), где Xi=Jf(/), а XiXit+s). Мы должны теперь дополнить наше определение стационарного процесса, требуя выполнения равенств

f(Xu t+x; Х2, t+.s+r) =

=fiXu i; X t+s)=UXi, X,)

для всех значений т. Практически все шумовые процессы, обсуждаемые здесь, удовлетворяют этим условиям.




1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74