-

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [1-13]

2.1. ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ, СРЕДНИЕ И КОРРЕЛЯЦИЯ

А. Плотность вероятности одной переменной. Средние значения

Пусть рассматривается большое число (ансамбль) идентичных систем, которые подвержены различным флуктуациям. Число систем в этом ансамбле должно быть чрезвычайно большим; строго говоря, оно должно стремиться к бесконечности, чтобы сделать последую-гцие выкладки достаточно справедливыми.

Можно определить вероятность JP того, что случайная переменная X, описывающая флуктуации, принимает значения, заключенные между X и Х+\1Х. Для этого представим АР в виде APANjN, где \Ш - число систем в момент tu для которых эта переменная заключена в интервале АХ, а N - число систем в ансамбле. В дифференциальной, форме

dP=f{X)dX. (2.1)

Функцию 1{Х) называют плотностью вероятности величины X. Обычно она определяется не экспериментально, а из детального статистического исследования флуктуирующей величины X: В общем случае f{X) может зависеть от U, и поэтому необходимо было бы писать f{X, ti) вместо f{X). К счастью, оказывается, что во многих случаях /(X,- ti+t)=f{X, 1{) для всех значений t, и тогда говорят, что случайный процесс стационарен, и можно писать f{X, ti + t)=f{X). Шумовые процессы, которые здесь предполагается обсудить, практически все являются стационарными *К

Функция f{X) удовлетворяет условию нормировки:

p{X)dX=h (2.1а)

где интегрирование распространяется на все допустимые значения X. Соотношение (2.1а) выражает тот факт, что

*> Исследования Брофи {126-130]-показали, что шум типа 1 не является стационарным процессом. Прим. ред.

X обязательно лежит в пределах диапазона допустимых значений, и тогда говорят, что функция f{X) нормирована. В противном случае вводится нормированная плотность вероятности Cf{X), для которой константа С определяется из равенства { Cf{X)dX\, т. е.

Jf(X)dX]~. (2.16)

Если известна f(X), то средние значения X , обозначаемые Х *, вычисляются следуюцим образом

Х^= J Xl (X)dX {т=\, 2,...), (2.2)

а среднее значение функции (Х)

).= [g(X)i{X)dX. (2.3)

В обоих случаях интегрирование распространяется на все допустимые значения X.

Если f{X)-четная функция X, то средние значения всех нечетных степеней X равны нулю.

Наиболее важными средними значениями являются X и XX Если, среднее значение X не равно нулю, реко; мендуется ввести новую случайную переменную X-X. Тогда наиболее важным средним значением оказывается дисперсия величины X{t):

varX = a = (X-X)=F-(X) (2.4)

Теперь обратимся, к дискретным переменным п, которые могут принимать только целые положительные значения. Пусть Р{п) является вероятностью появления значения п; тогда определения, сформулированные для непрерывных случайных переменных, остаются верными, следует лишь заменить интегрирование суммированием.-Например, условие нормировки (2.1а) должно быть записано в виде

S( )=;i, (2.1 в)

а среднее от п* , по аналогии с (2.2),

=S (0 (m = l. 2,...). (2.2а)

Дисперсия п теперь определяется соотношением

var = a= = ( -?z)==Ai=-(n)=. (2.4а)

Важными примерами дискретных плотностей вероятности являются биномиальный закон, закон Пуассона и нормальный закон. Обсудим эти три случая подробно.

Биномиальный закон. Пусть Некоторое событие имеет вероятность р реализации в форме А и вероятность 1-р реализации в форме В, и пусть отдельные события независимы. Если событие случается т раз, то вероятность Рт{п) того, что п раз оно реализуется в форме А,

Применение соотношения (2.2а) для средних значений сразу дает

п=тр, а'=тр{1-р). (2.5а)

Закон Пуассона. Пусть отдельные события независимы и происходят случайно со средней частотой п. Тогда вероятность Р{п) того, что п событий произойдут в течение временного интервала единичной длительности,

Р(,г) = [(й) ехр(-й)]/п! (2.6)

Применение соотношения (2.2а) для средних значений дает

G=n. (2.6а)

Нормальный закон. Пусть события случаются со средней частотой п. Пусть п велико и определено обычным образом. Тогда вероятность того, что п событий произойдут в единичном временном интервале,

Можно показать, что биномиальный и пуассонов-ский законы сходятся к нормальному при больших значениях п. Частный случай, когда а'==п называют законом Гаусса.

Уравнение (2.7) легко модифицируется Для случая непрерывной случайной переменной, имеющей Х=0. Нормальный закон теперь выражается в виде

где а^=Х\